2. МАТЕРИАЛ ЛЕКЦИЙ
2.1. Введение. Основные понятия
1А1 (Определение). Дифференциальным уравнением с частными
производными (ДУ в частных производных) называется уравнение
относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее
частных производных. Наивысший порядок частных производных
(существенно входящих в уравнение) называется порядком этого
уравнения.
1А+Б2 (Примеры).
2.1. ДУ вида
12
1
12
, , ,..., ,..., ,... 0,
...
n
n
n
u u u
F x u
xx
x x x
(2.1)
относительно неизвестной функции
,u u x
где
12
, ,...,
n
x x x x
является точкой в
n
мерном пространстве
,
n
представляет общий вид
ДУ с ЧП, если по крайней мере одна из частных производных функции
u
входит в уравнение существенным образом. Здесь
называется
мультииндексом, т. е.
12
; ;...; ,
n
0
i
и представляют собой
целые неотрицательные числа,
12
... ,
n
m
где
m
– порядок
уравнения.
Точное определение того, какие зависимости
F
являются
допустимыми, в общем случае требует отдельного рассмотрения.
2.2. Уравнение вида
1
1
1
12
1 1 2
,..., , , ,..., , ,..., ,..., ,...,
m m m m
n
m m m m
n
n
z z z z z z z
f x x z
x x x
x x x x
(2.2)
относительно неизвестной функции
z z x
12
, ,...,
n
z x x x
называется
ДУ с ЧП порядка
,m
разрешенным относительно старшей производной
1
m
m
z
x
.
2.3. ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ), если неизвестная функция
и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени). Так,
уравнение
2
, 1 1
младшая часть
главная часть
nn
ij i
i j i
i j i
uu
a x b x c x u f x
x x x
(2.3)
описывает общий вид ЛДУ с ЧП второго порядка с n переменными
(относительно неизвестной функции
u u x
12
, ,...,
n
u x x x
). Если
правая часть
( ) 0fx
в рассматриваемой области, ЛДУ (2.3) называется
однородным, в противном случае – неоднородным. Если главная часть в
(2.3) отсутствует, получаем ЛДУ с ЧП первого порядка.
2.4. ДУ с ЧП называется линейным относительно старших
производных, если старшие производные входят в него в первой степени
(линейно). Например,
2 2 2
22
главная часть
младшая часть
, 2 , , , , , ,
u u u u u
a x y b x y c x y F x y u
x y x y
xy
(2.4)
2
;.x y R
Если коэффициенты
,,abc
в (2.4) зависят еще от
,,
uu
u
xy
, то
такое уравнение называется квазилинейным.
2.5. Как уже отмечалось, ДУ с ЧП широко используются для
математического моделирования и описания различных физических задач.
Эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математи-
ческой физики. Основные типы этих уравнений:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
U U U U
a
t x y z
– волновое уравнение, которое обычно
записывают в компактном виде
2
2
2
,
U
aU
t
где
a
– скорость
распространения волны в среде,
2 2 2
2 2 2
x y z
– оператор Лапласа,
,,U u x y z
;
T
aT
t
– уравнение теплопроводности;
0
– уравнение Лапласа;
– уравнение Пуассона – основное дифференциальное
уравнение электростатики, где
– электрический потенциал,
,,x y z
– известное распределение зарядов в пространстве;
– уравнение Даламбера, где
2
2
2
a
t
– оператор Далам-
бера или волновой оператор;
( ) 0EU
– уравнение Шредингера – основное
дифференциальное уравнение квантовой механики, где
– волновая
функция,
E
– полная энергия частицы, играющая роль параметра,
U
–
потенциальная энергия, заданная условиями задачи.
1А3 (Определение). Функция
,u u x
непрерывная в некоторой
области D вместе со своими частными производными, входящими в ДУ с
ЧП, и обращающая это ДУ в тождество в области D, называется регуляр-
ным решением этого ДУ. Наряду с регулярными решениями в теории ДУ с
ЧП важное значение имеют решения, перестающие быть регулярными в
изолированных точках.
Однако существуют ДУ с ЧП, множества решений которых весьма
узки и в некоторых случаях пусты. Например, множество действительных
решений ДУ
2
1
0
n
i
i
u
x
составляют только постоянные функции:
constux
, а ДУ
2
1
10
n
i
i
u
x
не имеет действительных решений.
Качественные особенности решений ДУ с ЧП выявляются уже при
изучении простейших случаев.
1А+Б4 (Примеры-упражнения).
4.1. Рассмотрим ДУ первого порядка
0
u
x
для функции
,.u u x y
Решением такого уравнения является любая функция, не зависящая от
x
(зависимость от
y
может быть любой). Поэтому уравнение
0
u
x
имеет
бесконечное множество решений вида
,u x y C y
, где
Cy
–
произвольная функция аргумента
.y
4.2. Рассмотрим ДУ первого порядка
( , )
( ) ( ),
z x y
xy
x
( , ) ( , ) ( , ),x y a b c d
где функции
,
берутся из класса
0
C
(здесь и далее
символ
k
C
означает множество
k
раз непрерывно дифференцируемых
функций). Интегрируя уравнение по
,x
получаем его решение в виде
0
( , ) ( ) ( ) ( ),
x
x
z z x y t dt x y C y
где
0
( , ),x a b
()Cy
– произвольная функция.
4.3. Рассмотрим ДУ первого порядка
2.
uu
xy
Вводя новые
независимые переменные
11
,,
22
x y x y
получаем
( , )u u x y
1
( ), ( , ).
2
uz
. Тогда
,2
u z z u z z
xy
и
рассматриваемое ДУ сводится к виду
0,
z
интегрируя которое, имеем:
( , ) ( )z z C
или, возвращаясь к исходным переменным, получаем
решение в виде
1
( , ) ,
2
u u x y C x y
где
1
2
C x y
– произвольная
функция класса
1
.C
4.4. Решение ДУ второго порядка
2
0,
u
xy
( , ) ( , ) ( , ),x y a b c d
получается последовательным интегрированием по переменным
x
и
,y
например, в начале по
,x
затем по
:y
,
u
fy
y
1 1 2
.u f y dy C x C x C y
В результате решение содержит произвольные функции
1
Cx
и
2
Cy
класса
1
.C
Такие решения принято называть общими (или
представлениями решения). Таким образом, общие решения ДУ с ЧП, как
и обыкновенных ДУ, не определяются однозначно, но в отличие от
последних, включают уже не произвольные постоянные, а произвольные
функции.
1Б5 (Замечание-упражнение). В предыдущих примерах решение ДУ с
ЧП первого порядка зависело от одной произвольной функции, а решение
ДУ с ЧП второго порядка – от двух произвольных функций. Является ли
этот факт общим?
1А6 (Замечание). Как отмечалось, общие решения ДУ с ЧП зависят от
произвольных функций. Чтобы из них выделить конкретные (частные)
решения, обычно накладывают дополнительные требования – начальные и
граничные условия.
1А7 (Начальная задача Коши). Рассмотрим ДУ с ЧП (2.2), где
x
1
1 1 1
( ,..., ) , , .
n
n
x x D D D D
Пусть далее заданы начальная точка
10 0 1
( ,..., )
n
x x D D
и начальные функции
02
( ,..., ),...,
n
xx
12
( ,..., ),
mn
xx
1
2
( ,..., ) .
n
n
x x D
Тогда начальная задача Коши означает нахождение
решения ДУ с ЧП (2.2), удовлетворяющего следующим начальным
условиям:
10 2 0 2
( , ,..., ) ( ,..., ),
nn
z x x x x x
10 2 1 2
1
( , ,..., ) ( ,..., ),
nn
z
x x x x x
x
1
10 2 1 2 2
1
1
( , ,..., ) ( ,..., ), ( ,..., ) .
m
n m n n
m
z
x x x x x x x D
x
Задачу Коши можно рассматривать не во всей области
,D
а только в
окрестности точки
20 0
( ,..., ) .
n
x x D
.
Рассмотрим функцию
1
,..., ,
n
u u x x
определенную в некоторой
окрестности точки
10 0
,..., .
n
xx
Она называется аналитической функцией
своих аргументов в окрестности этой точки, если в рассматриваемой
окрестности функция представима степенным рядом вида
1
1
1
... 10 0
...
... .
n
n
n
n
a x x x x
1А+С8 (Теорема Коши – Ковалевской). Если
1) правая часть
f
ДУ (2.2) является аналитической функцией своих
аргументов в некоторой окрестности начальных данных
10 0
,..., ,
n
xx
2) функции
02
( ,..., ),
n
xx
…,
12
( ,..., )
mn
xx
являются аналитическими в
некоторой окрестности точки
20 0
( ,..., ).
n
xx
Тогда существует окрестность начальной точки
10 0
( ,..., ),
n
xx
в которой
решение задачи Коши 1А7 существует, единственно и является функцией
аналитической.
1А+Б9 (Следствие). Если правая часть ДУ с ЧП первого порядка
, , , ,
u u u
f x y z
x y z
является аналитической функцией своих аргументов в некоторой
окрестности точки
0 0 0 0 0 0 0 0
, , ( , ), ( , ), ( , ) ,x y y z y z y z
yz
где
–
аналитическая функция в некоторой окрестности точки
00
( , ),yz
то
найдется окрестность точки
0 0 0
( , , ),x y z
в которой решение начальной
задачи Коши
0
( , , ) ( , )u x y z y z
существует, единственно и является
функцией аналитической.
1А+Б10 (Замечание). Отметим, что функция
( , )yz
двух переменных
считается аналитической в окрестности точки
00
( , ),yz
если в этой
окрестности функция раскладывается в соответствующий ряд Тейлора:
00
0
( , ) ( ) ( ) ,
ij
ij
ij
y z a y y z z
где
00
1
( , ),
!!
ij
ij
ij
a y z
ij
yz
0,1,...; 0,1,...ij
1А11 (Замечание). График решения ДУ с ЧП принято называть
интегральной поверхностью (в соответствующем пространстве). Тогда в
геометрической интерпретации в задаче Коши
0
( , ) ( )u x y y
для ДУ
первого порядка
,,
uu
f x y
xy
требуется найти такую интегральную
поверхность
( , ),u u x y
которая проходит через заданную кривую
0
, ( ).x x u y
ДУ с ЧП различаются порядком, видом (линейные, нелинейные, ква-
зилинейные) и типом (гиперболические, параболические, эллиптические,
смешанные) и т. д.
2.2. ЛДУ с ЧП первого порядка
Рассмотрим ЛДУ с ЧП первого порядка
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0,
u u u
P x y z Q x y z R x y z
x y z
(2.5)
где функции
,,P Q R
одновременно в нуль не обращаются (в области
).D
Предположим, например, что
( , , ) 0,P x y z
( , , ) 0,Q x y z
( , , ) 0, ( , , ) ,R x y z x y z D
и рассмотрим систему обыкновенных ДУ
,
( , , ) ( , , ) ( , , )
dx dy dz
P x y z Q x y z R x y z
(2.6)
которую будем называть системой (уравнений) характеристик и где
x
можем считать независимой переменной, а
,zy
– ее функциями.
2А+Б1 (Теорема о свойствах решений ДУ с ЧП и ее системы
характеристик). Если в рассматриваемой области функция
u
( , , )x y z
является решением ДУ с ЧП (2.5), то соотношение
( , , ) ( , ( ), ( )) constx y z x y x z x c
есть (первый) интеграл системы (2.6).
Обратно: если
( , , ) constx y z
– интеграл системы (2.6), то функция
u
( , , )x y z
является решением ДУ с ЧП (2.5).
Схема доказательства. Пусть
u
( , , )x y z
– решение ДУ (2.5).
Полагая
( ), ( )y y x z z x
, имеем:
(2.6)
d dy dz
dx x y dx z dx
1
( ( , , )
( , , )
P x y z
P x y z x
(2.5)
( , , ) ( , , ) ) 0Q x y z R x y z
yz
.
Таким образом, соотношение
( , , ) constx y z
является интегралом
системы (2.6), т. е.
0
x
в силу системы (2.6). Обратно: если
( , , ) constx y z
– интеграл системы (2.6), то
(2.6)
0
d dy dz
dx x y dx z dx
1
( , , )P x y z
( , , )P x y z
x
( , , ) ( , , )Q x y z R x y z
yz
,
откуда получаем
( , , )P x y z
x
( , , ) ( , , ) 0,Q x y z R x y z
yz
что
завершает доказательство теоремы.
2Б2 (Теорема об общем интеграле ДУ с ЧП первого порядка). Если
функции
( , , )x y z
( , ( ), ( )),x y x z x
( , , ) ( , ( ), ( ))x y z x y x z x
класса
1
C
задают в области
D
линейно независимые интегралы системы
характеристик (2.6), то функция
( , , ), ( , , ) ,u x y z x y z
(2.7)
где
– произвольная функция класса
1
,C
являющаяся в достаточно малой
окрестности произвольной точки области
D
общим решением (задает
общий интеграл) ДУ с ЧП (2.5).
Схема доказательства. Поскольку
,,,
uuu
x x x y y y z z z
то
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
u u u
P x y z Q x y z R x y z P x y z Q x y z
x y z x y
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0.R x y z P x y z Q x y z R x y z
z x y z
Таким образом, функция (2.7) является решением ДУ с ЧП (2.5).
Кроме того, линейная независимость функций
,
гарантирует в
достаточно малой окрестности произвольной точки области
D
разрешимость начальной задачи Коши. Следовательно, функция (2.7)
определяет общее решение ДУ с ЧП (2.5). Теорема доказана.
2А+Б3 (Задача). Найти интегральную поверхность ДУ с ЧП
0,
uu
xy
xy
проходящую через кривую
1, ( ).x u y
Решение. Уравнение характеристик
dx dy
xy
(или
ln ln lny x C
) и
const
y
x
– его интеграл.
Тогда
,
y
u
x
где
– произвольная функция класса
1
,C
являющаяся общим решением рассматриваемого ДУ с ЧП. Из семейств
поверхностей, определяемых этим уравнением, выделяем ту, которая
проходит через кривую
1, ( ):x u y
,
1
y
u y y
т. е.
,yy
имеем
y
u
x
.
Рассмотрим квазилинейное ДУ с ЧП первого порядка
( , , ) ( , , ) ( , , )
uu
P x y u Q x y u R x y u
xy
(2.8)
относительно неизвестной функции
( , ),u u x y
где
,,P Q R
– функции
класса
1
C
в некоторой области
3
.D
Пусть далее соотношение
( , , ) 0v x y u
с
1
vC
определяет
u
как
неявно заданную функцию:
( , ),u u x y
причем предполагаем, что
0.
v
u
Тогда
( , , ) ( , , ( , )) 0,v x y u v x y u x y
откуда
,
v
v
uu
y
x
vv
xy
uu
.
Подставляя полученные выражения в (2.8), затем умножая на
v
u
и
прибавляя к обеим частям полученного равенства выражение
( , , )
v
R x y u
u
,
приходим к линейному ДУ с ЧП
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
v v v
P x y u Q x y u R x y u
x y u
(2.9)
относительно неизвестной функции
( , , ).v v x y u
Имеет место
2Б+С4 (Теорема). Каждое решение
( , , )v v x y u
ЛДУ с ЧП (2.9) ,
приравненное к нулю:
( , , ) 0,v x y u
определяет решение
( , )u u x y
квазилинейного ДУ с ЧП (2.8) как неявно заданную функцию в некоторой
окрестности точки
00
( , ),xy
являющейся проекцией на плоскость
Oxy
точки
0 0 0
( , , ) ,x y u D
где
0 0 0
( , ).u u x y
Тогда соотношение
( ( , , ), ( , , )) 0x y u x y u
(2.10)
описывает все решения ДУ с ЧП (2.8) в достаточно малой окрестности
точки
00
( , ).xy
Здесь
( , , ), ( , , )x y u x y u
– произвольные линейно
независимые решения класса
1
C
ЛДУ с ЧП (2.9), а
– произвольная
функция класса
1
.C
2А+Б5 (Замечание). Неоднородное ЛДУ с ЧП
( , ) ( , ) ( , )
uu
P x y Q x y R x y
xy
можно рассматривать как частный случай ДУ с ЧП (2.8).
